Trigonometry Class 10 in Hindi: त्रिकोणमिति कक्षा 10 सूत्र, अनुपात और हल उदाहरण
कक्षा 10 त्रिकोणमिति के हिंदी नोट्स: अनुपात, मानक कोण, सर्वसमिकाएँ और हल उदाहरण।
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- मुख्य बातें
- Trigonometry Class 10 in Hindi: मूल बातें
- छह त्रिकोणमितीय अनुपात
- मानक कोणों के त्रिकोणमितीय मान
- पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात
- त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
- हल उदाहरण
- त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग: ऊँचाई और दूरी
- त्रिकोणमिति में आम गलतियाँ
- तीन दिन में त्रिकोणमिति कैसे दोहराएँ
- त्रिकोणमिति कक्षा 10 पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- समापन
Trigonometry class 10 in Hindi का मतलब है समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंध का अध्ययन।
इसमें NCERT के दो अध्याय आते हैं: त्रिकोणमिति का परिचय और त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग।
यह अध्याय सूत्रों पर आधारित है, इसलिए समझदारी से किया गया कुछ घंटों का दोहराव पूरे अंक दिला सकता है।
सबसे पहले छह अनुपात सीखिए।
उसके बाद मानक कोणों के मान याद कीजिए।
अंत में सर्वसमिकाओं और ऊँचाई-दूरी के प्रश्नों का अभ्यास कीजिए।
Trigonometry Class 10 in Hindi: मूल बातें
“त्रिकोणमिति” शब्द का अर्थ है त्रिभुजों की माप।
यहाँ हम केवल समकोण त्रिभुज लेते हैं।
समकोण के सामने वाली भुजा कर्ण कहलाती है।
चुने हुए कोण θ के सामने की भुजा सम्मुख भुजा होती है।
बची हुई भुजा, जो θ को छूती है, आसन्न भुजा कहलाती है।
चूँकि समरूप त्रिभुजों में भुजाओं का अनुपात बराबर रहता है, इसलिए अनुपात सिर्फ़ कोण पर निर्भर करता है।
इसी कारण मानों की एक ही तालिका हर त्रिभुज पर लागू होती है।
छह त्रिकोणमितीय अनुपात
अनुपात छह हैं।
लेकिन वास्तव में आपको केवल तीन याद रखने हैं, क्योंकि बाकी तीन उनके व्युत्क्रम हैं।
| अनुपात | सूत्र | व्युत्क्रम |
|---|---|---|
| sin θ | सम्मुख / कर्ण | cosec θ = कर्ण / सम्मुख |
| cos θ | आसन्न / कर्ण | sec θ = कर्ण / आसन्न |
| tan θ | सम्मुख / आसन्न | cot θ = आसन्न / सम्मुख |
दो और संबंध काम आते हैं।
पहला, tan θ = sin θ / cos θ।
दूसरा, cot θ = cos θ / sin θ।
याद रखने के लिए एक पुरानी तरकीब है “पंडित बद्री प्रसाद, हर हर बोले, शंकर भोले”।
इसमें sin = लंब/कर्ण, cos = आधार/कर्ण और tan = लंब/आधार छिपा है।
एक अनुपात से सभी अनुपात निकालना
मान लीजिए sin A = 3/5 है।
तब सम्मुख = 3 और कर्ण = 5 होगा, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय से आसन्न = 4 आएगा।
अतः cos A = 4/5 और tan A = 3/4 है।
इसी तरह cosec A = 5/3, sec A = 5/4 और cot A = 4/3 मिलते हैं।
यह तरीका किसी भी दिए हुए अनुपात पर चलता है।
मानक कोणों के त्रिकोणमितीय मान
कुछ कोण लगभग हर प्रश्न में आते हैं।
इसलिए इनके मान कंठस्थ कर लीजिए।
सबसे पहले, 0° पर sin = 0, cos = 1 और tan = 0 होता है।
फिर 30° पर sin = 1/2, cos = √3/2 और tan = 1/√3 होता है।
उसके बाद 45° पर sin और cos दोनों 1/√2 होते हैं, जबकि tan = 1 होता है।
इसके बाद 60° पर sin = √3/2, cos = 1/2 और tan = √3 होता है।
अंत में 90° पर sin = 1 और cos = 0 होता है, पर tan परिभाषित नहीं है।
यहाँ एक तरकीब काम आती है।
sin के मान √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 और √4/2 के क्रम में चलते हैं।
cos के लिए यही क्रम उलट दीजिए।
वहीं tan = sin ÷ cos है, इसलिए उसे झट से बनाया जा सकता है।
साथ ही cosec, sec और cot व्युत्क्रम हैं, इसलिए cosec 90° = 1 और sec 0° = 1 है, पर cot 0° परिभाषित नहीं है।
पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात
दो कोणों का योग 90° हो, तो वे पूरक कोण कहलाते हैं।
समकोण त्रिभुज के दोनों न्यून कोण हमेशा पूरक होते हैं।
इसलिए एक कोण की sin दूसरे कोण की cos के बराबर होती है।
पहला, sin (90° − θ) = cos θ और cos (90° − θ) = sin θ।
दूसरा, tan (90° − θ) = cot θ और cot (90° − θ) = tan θ।
तीसरा, sec (90° − θ) = cosec θ और cosec (90° − θ) = sec θ।
उदाहरण के लिए, sin 65° = cos 25° है।
इसी तरह tan 40° × tan 50° = tan 40° × cot 40° = 1 है।
बोर्ड परीक्षा में इस विचार पर कई प्रश्न बनते हैं, इसलिए इसका अभ्यास बार-बार कीजिए।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
सर्वसमिका वह समीकरण है जो कोण के हर मान के लिए सत्य होता है।
नीचे की तीन सर्वसमिकाएँ पाइथागोरस प्रमेय से निकलती हैं।
- sin²θ + cos²θ = 1। इसे cos²θ से भाग दें, तो दूसरी मिल जाती है।
- 1 + tan²θ = sec²θ। पहली को sin²θ से भाग दें, तो तीसरी मिल जाती है।
- 1 + cot²θ = cosec²θ।
सर्वसमिका सिद्ध कैसे करें
एक तय क्रम अपनाइए।
सबसे पहले ज़्यादा जटिल पक्ष से शुरू कीजिए।
फिर हर चीज़ को sin और cos में बदलिए।
उसके बाद चरण-दर-चरण सरल कीजिए, जब तक दोनों पक्ष मिल न जाएँ।
अंत में “इति सिद्धम्” लिखिए।
समीकरण के चिह्न के पार पद कभी मत ले जाइए, क्योंकि इसमें वही मान लिया जाता है जो सिद्ध करना है।
हल उदाहरण
उदाहरण 1. sin 30° + cos 60° × tan 45° का मान ज्ञात कीजिए।
हल: sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2 और tan 45° = 1 है।
इसलिए मान = 1/2 + (1/2 × 1) = 1 आता है।
उदाहरण 2. सिद्ध कीजिए कि (1 − sin²θ) × sec²θ = 1।
हल: चूँकि 1 − sin²θ = cos²θ है, इसलिए बायाँ पक्ष cos²θ × sec²θ बनता है।
क्योंकि sec θ = 1/cos θ है, इसलिए गुणनफल 1 है।
अतः सिद्ध हुआ।
उदाहरण 3. यदि tan θ = 1/√3 है, तो sin θ और cos θ ज्ञात कीजिए।
हल: tan θ = 1/√3 का अर्थ θ = 30° है।
इसलिए sin θ = 1/2 और cos θ = √3/2 है।
त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग: ऊँचाई और दूरी
दूसरा अध्याय सीधे मापे बिना ऊँचाई और दूरी निकालने के लिए अनुपातों का उपयोग करता है।
पहले मुख्य शब्द समझ लीजिए।
- दृष्टि रेखा: यह देखने वाले की आँख से वस्तु तक जाने वाली रेखा है।
- उन्नयन कोण: जब आप ऊपर की वस्तु को देखते हैं, तब क्षैतिज रेखा से ऊपर बनने वाला कोण उन्नयन कोण है।
- अवनमन कोण: जब आप नीचे की वस्तु को देखते हैं, तब क्षैतिज रेखा से नीचे बनने वाला कोण अवनमन कोण है।
ऊँचाई-दूरी के प्रश्न हल करने के चरण
- साफ़ चित्र बनाइए और समकोण दिखाइए।
- दिया हुआ कोण, ऊँचाई और दूरी नाम सहित लिखिए।
- वह अनुपात चुनिए जो ज्ञात और अज्ञात भुजा को जोड़ता है।
- समीकरण हल कीजिए और इकाई लिखिए।
उदाहरण 4. सूर्य का उन्नयन कोण 45° होने पर एक मीनार की छाया 20 मीटर लंबी है।
मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल: tan 45° = ऊँचाई / 20 है।
चूँकि tan 45° = 1 है, इसलिए ऊँचाई 20 मीटर है।
उदाहरण 5. मीनार के आधार से 30 मीटर दूर एक बिंदु से उन्नयन कोण 60° है।
ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
(√3 = 1.73 लीजिए।)
हल: tan 60° = h / 30 है, इसलिए h = 30√3 = लगभग 51.9 मीटर आता है।
त्रिकोणमिति में आम गलतियाँ
- कोण बदलने पर विद्यार्थी सम्मुख और आसन्न भुजा में गड़बड़ कर देते हैं।
- कई लोग sin²θ को sin θ² लिख देते हैं, जबकि sin²θ का अर्थ (sin θ)² है।
- कुछ विद्यार्थी भूल जाते हैं कि अवनमन कोण क्षैतिज रेखा से मापा जाता है, ऊर्ध्वाधर से नहीं।
- चूँकि tan 90° परिभाषित नहीं है, इसलिए उसे किसी व्यंजक में आँख मूँदकर मत रखिए।
- जब चित्र नहीं बनता, तब बीजगणित सही होने पर भी अंक कट जाते हैं।
तीन दिन में त्रिकोणमिति कैसे दोहराएँ
पहले दिन अनुपातों की तालिका, मानक कोण और तीनों सर्वसमिकाएँ सीखिए।
फिर दूसरे दिन मानों और पूरक कोणों वाले सभी NCERT उदाहरण और प्रश्नावली के प्रश्न हल कीजिए।
अंत में तीसरे दिन दो सिद्धियों और चार ऊँचाई-दूरी के प्रश्नों का साफ़ चित्रों के साथ अभ्यास कीजिए।
और अध्याय देखने हों, तो कक्षा 10 गणित नोट्स या व्यापक कक्षा 10 नोट्स हब देखें।
जब पढ़ाई का बोझ भारी लगे, तब टालमटोल कैसे रोकें पढ़ें।
त्रिकोणमिति कक्षा 10 पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कक्षा 10 में छह त्रिकोणमितीय अनुपात कौन-से हैं?
छह अनुपात sin, cos, tan, cosec, sec और cot हैं।
मूल अनुपात sin, cos और tan हैं, जबकि बाकी तीन उनके व्युत्क्रम हैं।
sin 30, cos 60 और tan 45 का मान क्या है?
इनके मान sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2 और tan 45° = 1 होते हैं।
ये तीनों मान बोर्ड परीक्षा के बहुत से प्रश्नों में काम आते हैं।
कक्षा 10 की तीन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कौन-सी हैं?
वे sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ और 1 + cot²θ = cosec²θ हैं।
तीनों उन सभी कोणों के लिए सत्य हैं जहाँ पद परिभाषित हों।
कक्षा 10 में त्रिकोणमिति के कितने अध्याय हैं?
NCERT कक्षा 10 गणित में दो अध्याय हैं: त्रिकोणमिति का परिचय और त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग।
दोनों मिलकर त्रिकोणमिति इकाई के अंकों का बड़ा हिस्सा बनाते हैं।
More Questions About Trigonometry Class 10 In Hindi
उन्नयन कोण और अवनमन कोण में क्या अंतर है?
उन्नयन कोण ऊँची वस्तु देखते समय क्षैतिज रेखा से ऊपर की ओर मापा जाता है।
अवनमन कोण नीची वस्तु देखते समय क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर मापा जाता है।
tan 90 परिभाषित क्यों नहीं है?
क्योंकि tan θ = sin θ / cos θ है और cos 90° = 0 है, इसलिए शून्य से भाग की स्थिति बनती है और tan 90° अपरिभाषित रहता है।
इसी कारण cot 0° और cosec 0° भी अपरिभाषित हैं।
त्रिकोणमिति के सूत्र जल्दी कैसे याद करें?
अनुपातों के लिए "पंडित बद्री प्रसाद" याद रखें, मानक कोणों के लिए मूल वाला क्रम अपनाएँ, और बाकी दो सर्वसमिकाएँ sin²θ + cos²θ = 1 से निकालें।
सब कुछ एक बार में पढ़ने के बजाय रोज़ कुछ प्रश्न हल कीजिए।
समापन
Trigonometry class 10 in Hindi में अभ्यास स्मरण से ज़्यादा काम आता है।
तालिका और सर्वसमिकाएँ सीखिए, हर शब्द-प्रश्न के लिए चित्र बनाइए और हर उत्तर में इकाई जाँचिए।
फिर कक्षा 10 गणित श्रेणी से अगले विषय पर जाइए, या The Note होमपेज पर लौटिए।
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